КАК ИСПОЛЬЗОВАТЬ ТЕОРИЮ ВЕРОЯТНОСТИ НА ФОРЕКС

Лучшие Форекс брокеры 2021 года:

Теория вероятности на форекс.

Практически любой человек знаком с таким понятием как «Теория вероятности», но при первом знакомстве с форекс сразу же возникает вопрос — почему данная теория не работает?

Ведь исходя из того, что на выбор трейдера предоставляется всего два варианта направления сделки их соотношение должно быть как 1:1, то есть в 50% они должны приносить прибыль, а в оставшиеся 50% убытки.

Но, ситуация складывается далеко не в пользу прибыли, скорее наоборот, начинающие трейдеры практически моментально теряют свои депозиты, причем соотношение убыточных сделок к прибыльным обычно колеблется 7:3 — 8:2.

Теория вероятности на форекс не работает по нескольким причинам:

1. Не своевременный вход в рынок — вы видите растущий курс, совершаете сделку на покупку, но тут цена начинает падать и вы закрываете сделку. Правда после курс снова начинает расти, вы действительно угадали направление тренда, но вошли в рынок как раз на начале коррекции.

Нужно открывать сделку сразу после завершения предыдущей коррекции и начала нового движения.

Рейтинг брокеров FOREX:

2. Раннее закрытие позиций — открытая сделка начинает приносить прибыль, но вдруг прибыль стремительно уменьшается и позиция превращается в убыточную, что бы предотвратить увеличение убытков — сделка закрывается.

Тут опять же все связано с коррекцией тренда, если вы уверенны, что нет веских причин для разворота цены следует просто переждать неприятный момент, не допуская при этом критических убытков.

3. Не вовремя закрытые позиции — часто трейдеры стараются получить как можно больше прибыли с одной сделки, не учитывая динамику тренда, в результате происходит разворот и теряются уже полученные несколько десятков пунктов.

Что бы этого не случилось, при планировании прибыли следует всегда учитывать динамику тренда, а для защиты уже полученной прибыли использовать трейлинг стоп или вовремя переносить стоп лосс в область без убытка.

Первые три причины делают ваши прибыльные позиции убыточными, тем самым опровергая теорию вероятности при торговле на форекс.

Но все же основная причина, которая толкает трейдера на резкие движения — это не соответствие объема сделки и депозита трейдера, из-за которого даже пару пунктов превращаются в существенный убыток.
Сделать трейдинг более комфортным можно снизив данное соотношение до 1:10 — 1:30.

Надежные Форекс платформы:

К примеру, имея на депозите 1000 долларов и открыв сделку в 0,1 лота, вы нормально отреагируете в откат размером в 10 пунктов, ведь это всего 1% от вашего депозита, а представьте что вы открыли сделку в 1 лот, в этом случае убытки составили уже бы 10%.

Используя данный принцип можно значительно увеличить количество прибыльных сделок и заставить работать теорию вероятности на форекс, при этом не следует забывать. что прибыль по прибыльным сделкам должна быть больше суммарного убытка по убыточным.

Теория вероятности на Форекс. Как она работает?

Теория вероятности, происходит от английского «probability theory» и является одним из разделов математики, изучающего случайные величины, процессы, а также их взаимосвязи. Методы данной теории, играют важнейшую роль при обработке всевозможных статистических данных и исследований.

Теория вероятности и рынок Форекс. Уже известные закономерности

Для того, чтобы проанализировать финансовые рынки трейдеры используют технический либо фундаментальный анализ. Но эти виды анализа, сегодня не единственные на рынке Форекс. Трейдеры международного рынка не стоят на одном месте и постоянно ищут новые способы предсказаний того, как поведут себя валютные пары.

Однако, на данном этапе все более популярными и применяемыми становятся методы анализа рынка, в основе которых лежат идеи математических ожиданий, зачастую применяемых в теории вероятностей.

2 ЛУЧШИХ БРОКЕРА ОПЦИОНОВ, КОТОРЫХ ВЫБРАЛИ ВЫ!

РЕКОМЕНДУЕМ: ОНИ ОСТАЮТСЯ ЛИДЕРАМИ НА FOREX!

Как работает теория вероятности?

Как вы, наверное, знаете еще из школьного курса, теория вероятности занимается выяснением определенных закономерностей, возникающих в момент взаимодействия многообразия случайных факторов. Сразу отметим, что теория вероятности получила активное развитие после того, как были обнаружены некоторые устоявшиеся закономерности в процессе азартных игр, к примеру, таких как обычные кости.

С тех времен, теория вероятности начала активно развиваться и уже в прошлом веке, был обнаружен целый ряд определенных закономерностей в некоторых дисциплинах, в которых, как казалось, случайностям места не может быть вообще – физика и химия.

Помимо этого, многие современные математики считают, что и возникновение жизни на нашей планете, является рядом случайных событий, которые завершают цепочное звено многих статистических процессов.

Вы спросите, как теория вероятностей может быть связана с рынком Форекс, и каким образом она может оказать трейдерам помощь в ведении торгов?

Для наглядности рассмотрим такую ситуацию:

трейдеры-новички не имеют большого опыта спекуляции валютой и серьезного багажа необходимых для этого знаний. Они совершают, к примеру, по 20 транзакций. При этом, вероятность прибыльных сделок будет составлять приблизительно 50%, другими словами половина закрытых сделок принесет доход, а половина будет убыточными. Со временем новички наберутся опыта, что, несомненно, приведет к увеличению количества прибыльных сделок. Что касается опытных спекулянтов, то число совершаемых ими прибыльных сделок может превышать 80%.

Если сравнить рынок Форекс с обычной лотереей, то трейдеры валютного рынка имеют больше шансов на выигрыш, по той простой причине, что курс валют может двигаться только по двум направлениям, либо вверх, либо вниз.

Другими словами, может развиваться исключительно два варианта событий. Чего нельзя сказать о лотерее, где количество чисел на порядок больше. Помимо этого, теория вероятности на рынке Форекс имеет связь с одной важной закономерностью, а точнее с законом больших чисел.

ИНТЕРЕСНЫЕ ФАКТЫ:

Суть такого закона такова: когда увеличивается число испытаний, то частота наступления хаотичных (случайных) событий значительно приближается к вероятности того, что эти события действительно наступят. Если сказать проще, то у трейдеров тем больше шансов на выигрыш, чем больше сделок они совершают.

Как работает теория вероятности на рынке Форекс?

Используя теорию вероятности, т.е. закон больших чисел, участники рынка иногда прибегают к использованию такого приема – увеличивают (после некоторого числа убыточных сделок) размер лота. При этом они предполагают, что после целой серии неудачных сделок, вероятность выигрыша повышается. На рынке Форекс непосредственно с этой теорией связан закон Мартингейла.

Данная система (Мартингейл) пользуется успехом уже не одну сотню лет. Достоверно не известно, при каких обстоятельствах и кто именно изобрел эту систему. Есть версия, что она принадлежит удачливому игроку в карты, который жил в 19 веке, но это ошибочно.

Другая версия приписывает эту заслугу Даламберу, но опять же достоверных доказательств этому нет. При этом, есть интересный факт – название системы очень близко окситанскому картежному жаргону, где «ala martengalo» означает ведение игры абсурдным образом. Но все же «Мартин» для трейдеров Форекс является методикой торговли.

В современной интерпретации использования данной методы, происходит обычное угадывание будущих результатов торгов. Особенностью этой стратегии является то, что здесь не обязательно делать сложные расчеты, все зависит от вероятности. Все действия, совершаемые в данной стратегии достаточно понятны и просты и ими легко воспользоваться. При этом вся методика достаточно легко поддаваема статистическому анализу.

Но на рынке Форекс, сегодня чаще применяют не удвоение лота, а другие коэффициенты. К примеру, для того чтобы придать депозиту прочности в целом, трейдеры используют в работе такие коэффициенты, как 1,2, 1,5 и другие. Получается, что каждая из последующих сделок будет открыта в объеме равном объему предыдущей позиции, умноженному на необходимый коэффициент.

Особенность использования данного метода, является одновременное закрытие всех позиций, когда их общая сумма будет находиться выше нулевой отметки.

Если, к примеру, в рулетке убыток при выпадении другого числа или цвета (не того, что предполагал игрок), появляется сразу, то на рынке Форекс он накапливается при открывании все новых и новых сделок, покуда трейдер ожидает ценового разворота в нужную ему сторону.

ЛУЧШИЕ ФОРЕКС БРОКЕРЫ ПО ДАННЫМ «ИНТЕРФАКС»

А ТАКЖЕ ЛУЧШИЕ БРОКЕРЫ БИНАРНЫХ ОПЦИОНОВ В 2022:

Депозит от 10$! ТОРГОВЛЯ БЕЗ ВЕРИФИКАЦИИ | обзор / отзывы Копирование сделок! 500.000 НА ДЕМО СЧЕТ | обзор / отзывы

Торговля с переворотами — методика завязанная на теории вероятности

Есть и еще один метод необычной торговли на Forex, использующий теорию вероятности, это торговля с переворотами. Бывают такие случаи в торгах, когда трейдер имеет уверенность, что цена именно в данный момент резко двинется в определенном направлении, т.е. вниз или вверх.

К примеру, трейдер определяет, что сейчас цена начнет двигаться вверх. Он открывает сделку на покупку и выставляет «StopLoss» и «TakeProfit». Спустя определенное время цена действительно срывается резко с места, но уходит при этом вниз. Трейдер понимает, что его предсказание было ошибочным, а «StopLoss» выставленный им уже зафиксировал убыточную сделку.

Используя метод переворотов на Форекс, трейдеры больше концентрируют свое внимание на таком вопросе как «когда?», а не «какое направление?». В случаях неправильного предсказания направления спекулянты делают переворот позиций и уже готовы получать доход от нового движения.

ВИДЕО: Торговля с переворотами

Теория вероятности на рынке Форекс – выводы

Подводя итог, делаем выводы, касающиеся использования трейдерами на рынке Форекс теории вероятности:

Никто и никогда Вам не сможет гарантировать, что открытые позиции принесут прибыль либо рыночные события будут развиваться по какому-либо определенному плану. Другими словами, если Вам брокерская компания предлагает 100% прибыли, это является полным надувательством и такого брокера не следует принимать всерьез. Если брать в учет вышеописанное, то следует, что нет ни каких гарантий прибыльности или убыточности торговли. Трейдеры не могут достоверно знать, будет ли их конкретная сделка убыточной, а также, сколько они могут получить от нее прибыли. При торгах на Форекс, следует брать в учет еще один важнейший момент – по той причине, что открытые сделки не могут быть доходными, а также не возможность заранее знать размер прибыли, наиболее правильным решением будет сосредоточение участников рынка на совершенствовании методов управления собственными капиталами в довольно таки перенасыщенных рисками условиях рынка.

Сегодня ни одна из известных торговых систем либо стратегий применяемая на рынке Форекс не может исключить каких-либо неожиданностей. Другими словами трейдеры не могут четко просчитать все абсолютно варианты, по которым будут развиваться рыночные события. Форекс представляет собой некие взаимно сменяющиеся фазы, на протяжении определенного времени.

В таких условиях, необходимо обозначить одну из важных особенностей – когда трейдеры или аналитики настраивают себя на то, что выиграют, то они обязательно проигрывают, и, наоборот, при настройке на проигрыш, как правило, выигрывают.

Поэтому для более успешной торговли необходимо избрать принцип: «сколько Вы сможете себе позволить проиграть», а не «сколько Вы сможете выиграть».

Теория вероятностей на форекс

Снова рад приветствовать вас на страницах «Сфера форекс».

Сегодня разговор пойдет о том, как работает теория вероятностей на валютном рынке.

Мне часто поступают вопросы о работе советников, на основе мартингейла, и это не удивительно, потому как эту тему я прорабатывал около 3-х лет.

Давайте, более детально разберемся, что такое система мартингейл, антимартингейл, какие бывают вариации работы советников на данных системах, в чем есть свои плюсы и минусы и что полезного можно из этого извлечь.

• Мартингейл на форекс – это система, позволяющая открывать дополнительные позиции, когда цена пошла против выбранного вами или советником направления, с увеличенным или равным объемом.

Усредняя суммарные позиции, трейдер пытается достичь положительного результата или минимального убытка.

• Антимартингейл – это система, позволяющая открывать дополнительные позиции, когда ваш ордер уже достиг определенного уровня профита, тем самым усиливая позицию, для получения большей прибыли.

Как и в ситуации с мартингейлом, новая открываемая позиция, может быть как равным, так и большим или меньшим объемом.

Судить пока не будем, какая из систем более логичная и прибыльная.

Эти системы могут быть «чистыми», открытие сделок на момент включения советника или терминала, если вы торгуете руками. Или же выбор открытия сделки или сделок, могут быть основаны на анализе рыночной ситуации, разного рода индикаторов форекс, как встроенных так и «сторонних».

Я повидал достаточно много вариантов работы советников, на этих системах. Собственно тема не нова и все идеи, которые можно было применить к этим системам, давно уже опробованы.

Краткая классификация систем

Первое и самое распространенное, это «чистые системы», где для открытия сделок достаточно включить советник в работу.

В таком варианте сразу может открыться сделка в каком-либо из направлений, из расчета, что если она пойдет в прибыль, то закроется с профитом и сразу откроется следующая сделка в этом же направлении. И так до тех пор, пока не начнется убыток по очередной сделке, где в работу включится мартингейл, и параллельно с этим, могут открываться ордера и в обратном направлении.

Или же еще вариант, могут открыться сразу две сделки, в разных направлениях. При этом одна из сделок закрывается с профитом, а обратная усредняется.

Так же могут быть варианты, когда при запуске работы советника, выставляются отложенные, лимитные или стоп – ордера и при срабатывании одного из ордеров, противоположные закрываются. Далее работа с ордером или ордерами повторяется, как и в мартингейле или же происходит открытие дополнительных ордеров по тренду, если работает система антимартингейл.

Таким образом, пытаясь поймать в расставленную сеть ордеров работу по тренду или «усредниться», в случае не благоприятного стечения обстоятельств рынка. Такие системы так и называют «сеточники». Принцип работы у них одинаков.

Все эти принципы запускают систему вероятностей – при каком стечении обстоятельств, та или иная сделка или серия сделок, в конечном итоге будут прибыльными.

Для увеличения вероятности профита, к этим системам добавляют работу на определенном часовом интервале, ограничение убытков в разных вариациях, подключение трейлинг – стопа, расчет начального объема торговли на форекс и прочее. К тому же применяются разные принципы усреднения, как и с минимальным профитом, а то и с минимальным убытком (чтобы убыточные позиции быстрее закрылись), так и с максимальным профитом по убыточным позициям, в случае благоприятного стечения обстоятельств.

Основные параметры для работы таких, да и более сложных советников, это размер профита, шаг открытия очередной сделки, максимальное количество открываемых ордеров. Все эти параметры можно выбрать на свое усмотрение, либо же подобрать путем оптимизации в тестере (к нему еще вернемся).

Более сложные системы для «решения» открытия определенной сделки применяют индикаторы, свечные паттерны, разного рода принципы определения, как краткосрочного, так и более глобального тренда, автоматический расчет мани-менеджмента и более сложные принципы, выхода из убыточных позиций. Тем самым уменьшая вероятность негативного исхода торговли, и увеличивая вероятность прибыльности системы. Даже бывают системы, которые успешно торгуют во флете и «умеют» переключаться в работу по тренду.

В этой статье, более детально рассматривать все эти варианты, не будем, это может занять очень много времени.

Так или иначе, во всех этих, и не только этих системах, присутствует определенный процент вероятности благоприятного исхода событий. И чем он выше, тем прибыльней система.

Я это веду к тому, что не столь важно каким принципом, в торговле, вы руководствуетесь, важно чтобы конечный результат был положительным. А уж, какую доходность вы хотите иметь, выбор за вами.

Теперь рассмотрим отрицательные моменты систем на усреднении, а после перейдем к тому, что в них есть положительного.

Существенным минусом является то, что мы заранее не можем предположить, какова будет вероятность положительного исхода. В терминалах МТ4 и МТ5, у нас есть возможность оптимизировать параметры любой системы. И варианты оптимизации и тестирования могут быть разными, все возможные варианты, можно найти в интернете. Какой из вариантов будет более «правильным», решать вам. Минусом в этих тестах, является то, что принцип работы тестеров, нам не известен, потому как программа тестирования, для нас, предлагается в закрытом коде. Таким образом, нам приходится доверять (или не доверять) результатам оптимизации и тестирования. Как в дальнейшем поведет себя система, можно определить только по результатам реальной торговли. Но на это уходит достаточно много времени, а получать прибыль, хочется уже вчера.

Еще одним недостатком является то, что если система разработана не вами, то откуда вам знать, принцип ее работы? Только со слов автора. К сожалению, в сети очень много недобросовестных распространителей «чудо-систем». Возможно поэтому, такие системы, считаются высоко-рисковыми.

К сожалению, многие из систем, могут подолгу держать убыточные позиции «пересиживать», из расчета возврата цены для закрытия. И если цена не возвращается, можно получить потерю всего депозита. Скорее всего, в простейших системах, шаг открытия очередного ордера, был не достаточным или система не адаптирована к трендовым движениям.

Из положительного. Данные системы, могут быстро и многократно увеличить ваш депозит. Главное вовремя остановится. Некоторые системы могут приносить небольшой доход, но на более длительном интервале времени. Если система разработана вами, то у вас есть возможность внесения корректив в работу, в зависимости от состояния рынка. К тому же, такой системой можно пользоваться как в режиме советника, так и при ручной торговле.

Какую пользу для себя, можно из всего этого извлечь?

Если у вас уже есть, какая либо из подобных систем, то постарайтесь досконально разобраться, как она работает. Протестируйте её на демо-счете, при разных условиях рынка. Если вы планируете приобрести какой-то советник, то желательно связаться с автором и детально расспросить, на каких принципах построена система. И если ответы вас устроят, то можно приобретать данный советник. И, конечно же, самостоятельно разобраться в его работе.

Но самым идеальным вариантом будет, разработка собственной системы. Безусловно, что для создания своей торговой стратегии, нужны знания и опыт в торговле. Если вы всерьез и надолго решили задержаться в этом виде деятельности, то нужно становится профи. Научится самостоятельно принимать решения, потому как ответственность за прибыль или убыток, вы не сможете переложить на другого человека. Есть только вы и рынок. По той причине, что профессиональный уровень у большинства в этом бизнесе невелик, мы получаем печальную статистику. Именно поэтому интернет переполнен, псевдо профи и очень не просто разобраться, кто действительно хочет поделиться своими знаниями, а кто просто на этом зарабатывает деньги.

Любое мнение аналитиков, должно восприниматься со скепсисом и проверяться на реальном рынке, пусть даже на демо – счете. Как работает аналитик? Человек с определенными знаниями и опытом, основываясь на индикаторах, свечном анализе, фундаментальных данных, предполагает, что дальнейшее движение цены, будет в том или ином направлении, по определенному инструменту. Какова вероятность, что данный прогноз сбудется? С нашей стороны, только из доверия к опыту данного человека и набору наших знаний и опыта. Но решение об открытии сделки, остается за вами. Есть хорошее выражение: «трейдер – это тот, кто принимает решение в точке неизвестности».

Раз мы рассматриваем теорию вероятностей, то давайте решим одну небольшую задачку.

Условия таковы: у вас открыто 2 сделки в разных направлениях, одинаковым объемом, по одной цене, за вычетом спреда. Естественно, цена пошла в одном из направлений и один из ордеров закрывается с прибылью, а второй остается в убытке. Какова должна быть логика наших действий, что бы суммарно позицию закрыть с профитом? Главное не с убытком. Варианты ответов, можно оставить в комментариях.

Ранее, подобные ситуации меня приводили в ступор, я понимал, что логично получу убыток и старался такие сделки закрывать сразу, получив минимальный минус только по спреду. После, я заметил, что за такими, на первый взгляд, убыточными сделками есть большой потенциал. Сейчас, при разработке, какой-либо стратегии форекс и создании по ней алгоритма, убыточную сделку я рассматриваю как возможность, в дальнейшем получить по ней прибыль. Но при этом, нужно досконально разбираться в инструменте который торгую. В каких диапазонах ходит цена, насколько глубокие у нее бывают коррекции, насколько затяжными бывают трендовые движения. Скажем так, определить диагноз пациента)))).

При создании советника Robot_Duble_v05.3, о котором я рассказывал в предыдущих статьях, были учтены возможные варианты движения цены по паре евро/доллар с потенциалом работы советника на других инструментах. Для тестирования робота, была предоставлена версия для демо – счета. Вы без проблем можете воспользоваться данной версией, для проверки работоспособности системы.

И так как на дворе середина декабря, самое время подводить итоги прошедшего года и строить планы на будущий год. В такое время, компании устраивают «чёрные пятницы», а магазины предлагают предновогодние скидки. Я не буду оригинальным и с сегодняшнего дня, предлагаю приобрести версию советника для торговли на реальных счетах, в половину его стоимости.

Но для начала, определитесь для себя, с каким инструментом вы планируете работать, разберитесь в его потенциале. Опробуйте на этом инструменте версию советника для деио – счета. Не стесняйтесь задавать вопросы.

Жду ответов на вопросы и вопросы для ответов в комментариях)))

Приятной вам предновогодне суеты и профита в наступающем году!


Олег Иванов, трейдер, ПАММ-управляющий, разработчик торговых стратегий.

Свежие новости финансовых рынков, анализ форекс на Главной странице

Теория вероятности на Форекс

На сегодняшний день, практически все люди знают о таком понятии, как «Теория вероятности», однако при первоначальном знакомстве с валютным рынком, у этих людей тотчас возникает такой вопрос, а именно — почему эта теория в данном случае не работает?

Потому как исходя из того, что на выбор валютного спекулянта предоставляется всего лишь два варианта будущего направления контракта, их соотношение, по всей вероятности, должно быть на уровне 1 к 1, попросту говоря, в пятидесяти процентах случаев он должен приносить доход, а в оставшихся пятидесяти процентах — убытки.

Тем не менее, ситуация складывается отнюдь не в пользу дохода, а скорее в точности до наоборот, молодые спекулянты практически в один момент теряют свои кровные, при этом само по себе соотношение убыточных контрактов к прибыльным, как правило, варьируется следующим образом – 8 к 2, 7 к 3.

Теория вероятности на Форекс не справляется со своей задачей сразу по нескольким причинам, а именно:

  • Неправильный выбор времени для входа на рынок — Вы наблюдаете за растущим курсом, заключаете контракт на покупку, однако в это время стоимость начинает снижаться и после этого Вы принимаете решение закрыть контракт. Далее Вы наблюдаете за тем, что курс снова пошел вверх, при этом Вы действительно правильно спрогнозировали направление тренда, однако зашли в рынок именно в самом начале коррекции.

Следует открывать контракт сразу по окончанию предыдущей коррекции и возникновения нового рыночного движения. Это очень важно!

  • Слишком скорое закрытие позиций. Разберем следующую ситуацию – открытый контракт начал приносить доход, как вдруг доход быстро уменьшается, после чего Ваша позиция становиться убыточной и для того, чтобы предотвратить будущие убытки, Вы закрываете контракт.

В данном случае, все опять же связано с трендовой коррекцией. Таким образом, если у Вас есть уверенность в том, что веские причины для разворота стоимости отсутствуют, тогда следует попросту переждать этот достаточно неприятный момент, при этом не допуская каких-либо фатальных потерь.

  • При закрытии позиции, трейдеры не редко пытаются получить как можно большую прибыль с одного контракта, разумеется, динамику тренда, они при этом не учитывают, и в результате производиться разворот и несколько десятков, уже полученных пунктов, уходят в никуда.

Для того, чтобы этого не произошло, при планировании дохода необходимо своевременно прогнозировать динамику тренда, ну а для того, чтобы защитить уже полученную прибыль, следует применять трейлинг стоп либо своевременно переносить стоп лосс в безубыточную область.

Таким образом, три первые причины способны сделать из Ваших прибыльных позиций — убыточные, как видите, это опровергает теорию вероятности на Форекс.

Однако, главной причиной, которая подталкивает спекулянта на столь резкие движения является не соответствие размера контракта с депозитом, и именно по этой причине, даже несколько пунктов могут превратиться в значительный убыток.

Сделать торговлю более комфортной, разумеется, можно. Для этого необходимо снизить это соотношение например до 1 к 10 – 1 к 30.

Например, имея на счету, скажем, $ 1000 и открыв контракт в 0,1 лота, Вы сможете нормально отреагировать на откат, объемом в 10 пунктов, потому как это всего на всего 1 процент от вашего счета, а теперь попробуйте представить, что вы открыли контракт, объемом в 1 лот — в таком случае Ваши убытки уже бы составляли 10 процентов.
Пользуясь дынным принципом можно существенно увеличить число прибыльных контрактов и заставить теорию вероятности на форекс работать, однако не стоит забывать и о том, что доход по прибыльным контрактам должен превышать суммарный убыток по убыточным.

Комбинаторика и теория вероятностей для трейдинга (Часть I): Основы

На мой взгляд язык теории вероятностей как никакой другой способен открыть перед трейдером совсем иной уровень понимания происходящих процессов внутри рынка. Овладев тонкостями и нюансами теории вероятностей, вы в первую очередь начнете мыслить совсем другими категориями. Кажется или кто-то сказал, что надо вот так, уже не будут вызывать в вашем мозге какие-то ложные рефлексы или желание сломя голову торговать на реальном счету. С другой стороны, я понимаю, что для многих данный подход чужд, в первую очередь потому, что многие живут совсем в иной парадигме, которая им комфортна. Хочу немного растрясти вас и показать настоящий и правильный подход к торговле. Во главе всего должны быть цифры и только, и никаких «может быть», «если», «мне кажется» и «что если».

Чем может быть полезна теория вероятностей при анализе рынка?

Стоит отметить, что я достаточно большой промежуток времени в своей жизни очень тесно занимался техническими науками и теория вероятностей давалась труднее всего. Причиной тому служило то, что я не понимал, насколько широки ее возможности. Неоспоримым плюсом является безграничная широта ее возможностей, которая зависит лишь от вашей смекалки и усердия, ну и интеллекта, конечно же. Хочу отметить, что спустя годы изучения технических дисциплин я понял, что интеллект не состоит в быстродействии выполнения однотипных операций или внимательности, а как раз показывает гибкость вашего ума. Если взять, к примеру, дифференциальную математику, теорию векторных и скалярных полей, да даже школьную алгебру, там везде есть некоторый набор правил или рекомендаций, следуя которым можно решить практически любую задачу. Как только задача начинает выходить за рамки стандартных, наш мозг встает в ступор и не понимает, что делать. В теории вероятностей таких моментов максимум, но как раз благодаря этому решение многих задач может быть обеспечено только совершенно разными подходами. Иными словами, интеллект можно развить только усердием и несгибаемой волей к решению поставленной задачи, и теория вероятностей поможет вам в этом.

В рамках теории вероятностей описываются такие краеугольные понятия торговли, как математическое ожидание, всевозможные вероятности различных событий, различные усредненные величины, а также проценты и многое-многое другое. Теория вероятностей учит нас, что не существует идеальной торговой системы, и каждая система имеет свои риски. В наших силах лишь подобрать ту торговую систему, риски которой у нас не будут вызывать дискомфорт. Но самое главное, правильно интерпретировать данные риски. Иными словами, мы уходим от неточного языка ощущений или визуальных приблизительных оценок к четким количественным критериям. Визуальные, конечно, тоже нужны, но они лучше работают в тандеме с количественными показателями. Все тонкости и нюансы невозможно описать в одной статье, но кое-что интересное я вам покажу в данной статье. Уверен, даже те, кто не чужд математике, найдут что-то для себя.

Нюансы прикладной теории вероятностей для ручной и автоматической торговли

Для того чтобы правильно использовать теорию вероятностей для анализа рынка, нужно в первую очередь познакомиться с событиями и их вероятностями. Событие представляет собой набор исходов, которые удовлетворяют каким-либо критериям, либо группируются по какому-либо признаку в обособленный набор. Исходом называется некий элементарный элемент, который равноправен всем остальным в данной группе. Группой называют все возможные исходы какого-либо процесса. Не так важно, что это за процесс, какова его физика или как долго этот процесс протекает, самое главное, что при полном протекании процесса мы получим какой-то результат или что-то, чего не было до того, как процесс еще не был завершен. Те исходы, которые относятся к нашему событию, по сути и являются нашим событием, просто мы для удобства восприятия объединяем их в некий единый объект. Можно условно изобразить сказанное на рисунке:

Серый эллипс здесь играет роль всех исходов и его в математике принято называть «пространством событий«. Это не значит, что пространство событий имеет геометрическую форму, просто для описания данных понятий вполне подходит плоскость. Я изобразил внутри эллипса 4 разных события. Как видно из рисунка, внутри каждого события есть по одной небольшой красной точке. На самом деле этих точек может быть как ограниченное количество, так и бесконечное, все зависит от того, какой процесс мы рассматриваем. Также на рисунке есть два события, которые пересекаются. Такие события называются «совместными«. Они так называются, потому что есть такие исходы, которые принадлежат обоим событиям. Остальные события являются «несовместными«, поскольку они находятся в разных частях эллипса и не пересекаются геометрически. Всю остальную область серого цвета можно считать последним событием, либо также можно разбивать на более мелкие части до тех пор, пока серых зон не останется.

У каждого события обязательно есть как минимум одно соответствующее ему число, которое принято называть «вероятностью«. Вероятность означает, насколько часто появляется выбранное событие в процессе повторения одного и того же процесса, если бы мы могли производить один и тот же опыт бесконечно. Есть два вида пространства событий:

  1. С конечным числом возможных исходов
  2. С бесконечным числом возможных исходов

В случае конечного числа возможных исходов вероятность можно посчитать так:

  • P = S/N , S — количество исходов, которое попадает под критерии события, N — общее количество всех исходов пространства событий

В некоторых случаях, когда количество исходов в конкретном пространстве событий бесконечно, можно также определить данную вероятность например, с помощью интегралов. Конкретно, в случае нашего рисунка, величины «S» и «N» можно заменить на площади их геометрических фигур.

Не всегда получается явно определить, что из себя представляет пространство событий, как и не всегда получается явно определить, сколько в нем исходов и что за физику они описывают. Данные графические представления лишь призваны помочь провести аналогии нашему мозгу, чтобы он начал работать уже не какой-то геометрией и не пытался понять, что и зачем, а свыкся с мыслью, что работаем мы исключительно с вероятностями и дополнительными числами, которые соответствуют этим вероятностям. Еще события можно назвать «состояниями«. Если использовать логику состояний, то получается, что вероятность есть не что иное, как частота появления определенного состояния в результате повторения одинаковых опытов.

Если продолжить логику площадей фигур, то выходит, что сумма площадей всех фигур входящих в эллипс, в точности равна площади этого эллипса. Если уже переходить на язык математики, то площадь — это количество исходов, которые туда попадают. Вот и выходит что:

  • N = S[1] + S[2] + . + S[n]
  • S — количество исходов конкретного события
  • N — все исходы пространства событий

Если разделить обе части равенства на величину «N», то мы получим интересное и очень важное соотношение, которое лежит в основе всей теории вероятностей:

  • 1 = S[1]/N + S[2]/N + . +S[n]/N

Хочу только уточнить, что данное соотношение работает только для тех событий, которые несовместны, потому что если события совместны, то площади фигур уже начинают накладываться друг на друга, и их суммарная площадь уже будет больше, чем площадь исходного эллипса. Все мы собирали паззл в детстве, так вот понятно, что площадь всех ячеек пазла в точности равна площади той картинки, что у нас получается в итоге. В данном случае кусочек пазла олицетворяет одно из событий. Двигаясь дальше, понятно, что все эти дроби не что иное, как вероятности конкретных событий:

  • 1 = P[1] + P[2] + . +P[n]

От этого соотношения и произрастает термин «полная группа событий«. Полной группой событий называется совокупность всех несовместных событий, которые образуют некоторое пространство событий. В случае пазла полной группой являются все кусочки пазла. Суммарная вероятность всех этих событий должна быть обязательно равна единице, что означает, что обязательно в результате опыта должно произойти какое-то из этих событий. Мы не знаем какое именно, но узнаем по результатам опыта.

Если хорошенько подумать, то можно понять, что в качестве события может выступать любой набор исходов из выбранного пространства событий. Это означает, что полную группу можно собрать всеми возможными способами и комбинациями. В случае конечного числа исходов таких комбинаций может быть ограниченное количество, а в случае бесконечного числа — бесконечное количество. Если известно, что количество исходов равно бесконечности, то математики переходят к рассмотрению такого понятия, как «случайная величина«. В некоторых случаях даже удобно оперировать случайными величинами, потому что задача позволяет это сделать. Случайная величина — это уже немного другой способ описания пространства событий. В данном случае исходом является четкий набор из одного или более чисел, можно сказать что это вектор. В рамках данной модели рассмотрения вводится понятие «плотности вероятности«.

Я думаю, что стоит хотя бы поверхностно рассмотреть данные понятия, поскольку они нам понадобятся в дальнейшем при рассмотрении остального материала и для какого-то понимания с нашей стороны. Плотность вероятности — это функция, которая описывает сразу все пространство событий. Размерность этой функции в точности равна количеству чисел, которые необходимы для описания каждого исхода в данном пространстве событий. Например, если мы рассматриваем задачу стрельбы по мишени в тире, то размерность данной функции будет равна двум, потому что мишень плоская и олицетворяет собой двумерное пространство. В данном случае характеристиками конкретного исхода будут координаты X,Y. Данные числа и являются нашими случайными величинами и теперь мы можем записать:

  • R = R(X,Y)
  • R — плотность вероятности попадания пули в точку с координатами (X,Y)

Свойства данной функции таковы, что полный интеграл от минус до плюс бесконечности по всем переменным этой функции будет равен единице, что по сути отражает то же самое тождество, что было выше. Вероятности здесь определяются только интегралами по той области, где представлена функция и никак иначе. Из кусочно интегрированных областей можно составлять различные события, и при желании можно описать столько событий, сколько нам нужно, ведь их число равно бесконечности. В рамках данной статьи нам хватит и этого определения для понимания дальнейших мыслей, и я думаю, не стоит погружаться дальше, ведь там уже пойдут гораздо более серьезные вещи, которые в рамках наших задач абсолютно бесполезны.

Хочу еще немного рассказать про совместные события. Данные события тоже очень важны для общего понимания картины в целом. Понятно что с несовместными событиями все должно быть достаточно просто, а вот с совместными все сложнее. В рамках теории вероятностей приходится сталкиваться с такими вещами, как объединение или дробление событий, но нам ведь не нужно знать, как будет выглядеть данное дробление или объединение, нас интересуют только вероятности, которые получатся в результате данных преобразований. Для этого вводится понятие суммы, и произведения событий, а так же операция инвертирования. Данные операции означают не одно и то же, что в обычной математике, а кроме того они призваны оперировать только вероятностями. Вероятности совместных событий нельзя складывать, потому что в этом случае нарушается целостность группы. В целом эти 3 операции над исходными событиями способны описать все возможные события, которые можно составить из кусков исходных событий. На примере двух совместных событий могу показать как это будет выглядеть на плоскости:

На самом деле можно придумать дополнительные алгебраические операции, но они могут быть составлены из уже представленных. Например, булево деление эквивалентно третьей и четвертой ситуации на рисунке, так как деление эквивалентно умножению на событие обратное выбранному. Вообще, строго говоря, для описания всех возможных событий, которые можно сконструировать из частей исходных событий, вполне достаточно первых двух случаев. В случае, когда совместны более двух событий, все становится гораздо сложнее. В этой статье мы пока что не будем оперировать совместными событиями, а только несовместными.

Математика рынка в первую очередь строится на таком понятии как «случайное блуждание«. После того, как мы рассмотрим данное понятие, можно будет обобщить эти данные на случаи наличия закономерностей. Начнем с того, что предположим, мы открываем позицию с равноудаленными стоп-лоссом и тейк-профитом от цены открытия, и, если не учитывать спреды, комиссии и свопы этих позиций, если представить что позиция открывается бесплатно, то, думаю, всем очевидно, что, если случайно торговать в разных направлениях и в разных точках графика, то соотношение прибыль/убыток примет значение, равное единице. Иначе говоря, при бесконечной торговле количество прибыльных позиций будет в точности равно количеству убыточных. Из данного факта следует, что мы получаем нулевую прибыль, сколь угодно долго бы мы не торговали, а когда мы еще вычтем убытки от спредов, комиссий и свопов, то выйдет, что мы сливаем.

Многие могут подумать, а зачем мне знать что такое случайное блуждание и зачем мне вообще математика этого процесса, если я знаю что я в минусе как не крути? Случайное блуждание может помочь посчитать вероятности различных событий. Таких, как закрытие по асимметричным стопам или среднюю цену, которую пройдет график в определенном коридоре цен. Также и посчитать время жизни позиции и иные полезные показатели, которые, если и не дают ответ на вопрос, где войти и где выйти, так однозначно вам помогут в оценке рисков или в вопросах максимизации или минимизации таких величин, как прибыль и убыток.

Деревья вероятностей и гипотезы

Очень полезным примером для развития ваших лобных долей будет такая штука, как деревья событий, или деревья вероятностей, кому как угодно. Данная тема берет начало из «cхемы Бернулли«, потому что в основе всех вероятностных деревьев лежит именно она. Данная схема рассматривает цепочки несовместных событий, которые следуют друг за другом. Но перед тем как рассмотреть ее, мы рассмотрим «формулу полной вероятности«. Именно изучая эту важнейшую конструкцию, можно придти к схеме Бернулли, а уже от схемы к вероятностным деревьям. Данная формула выглядит так:

  • P(A) = Сумма(0 . i . n) [ P(H[i]) * P(A| H[i] ) ] — вероятность события А
  • P(H[i]) — вероятность возникновения гипотезы » H[i]»
  • P(A | H[i] ) — вероятность того что событие A произошло в рамках гипотезы » H[i]»

Отдельно хочу сказать, что когда мы имеем дело с вероятностями, лучше придерживаться правила писать их в стиле гипотез. К примеру, вот такая запись » P(H[k] | H[i] ) » будет означать следующее:

  1. Вероятность события «H[k]« вычисленная относительно пространства » H[i]»

Так сразу становится понятно, какое событие мы считаем пространством, а какое событие является вложенным. Все дело в том, что, по сути, каждое событие является другим более маленьким пространством событий, и внутри него могут быть другие события, которые вложены в него, и так далее. А, например, вот эту запись » P(H[i]) » можно, исходя из этой логики, записать вот так:

  • P(H[i]|O) — потому что данная вероятность считается относительно «O».

Теперь разберем формулу полной вероятности на части для того, чтобы понять, что же в ней сокрыто. Довольно сложно сразу понять, что тут творится в этой формуле, но, я думаю, скоро все станет понятно. Начну с того, что перепишу данную формулу немного в ином виде:

  • P(A) = (S[0] + . + S[i] + . + S[n]) / O = S[0]/O + . + S[i]/O + . + S[n]/O = ( S[0]/N[0]) * ( N[0]/O ) + . + ( S[i]/N[i]) * ( N[i]/O ) + . + ( S[n]/N[n]) * ( N[n]/O )
  • S[i] — площадь конкретного сегмента пересечения гипотезы H[i]
  • N[i] — площадь всей гипотезы H[i] (включая S[i])
  • O — все исходы или площадь всего эллипса

После небольших преобразований, которые заключались в том, чтобы домножить числитель и знаменатель дробей на величину » N[i]», мы можем увидеть в ней те вероятности, которые присутствуют в оригинале формулы:

  • S[i]/N[i] —-> P(A | H[i] )
  • N[i]/O —-> P( H[i] )

Графически, для более хорошего усвоения, это все можно изобразить вот так:

Внешний эллипс здесь исполняет роль пространства событий, а центральный — роль нашего события, вероятность которого мы ищем. Если представить, что это часы то, проведя диаметр эллипса и вращая его против часовой стрелки, будем нарезать наш эллипс на сегменты, которые и являются гипотезами. Гипотеза — это просто такое специальное название событиям, но по сути это те же события, которые ничем не отличаются от того, вероятность которого мы ищем.

У этой формулы есть частный случай, который поможет нам с построением схемы Бернулли. Представьте, что центральный эллипс полностью находится внутри одной из таких гипотез. Тогда выходит, что все слагаемые данной суммы, которые имеют отношение к остальным гипотезам, автоматически обнуляются, в связи с тем, что вероятность возникновения события «A» в рамках данных гипотез невозможна или равна нулю, что то же самое, что и приводит к обнулению этих слагаемых. В итоге получается что:

  • P(A) = P(H) * P( A | H )
  • H — вероятность именно той гипотезы, внутри которой находится выбранное событие, полностью.

Если пойти дальше, то можно предположить, а что если событие «А» также назвать гипотезой? А почему нет, гипотеза это — событие, значит любое событие — гипотеза. Теперь предположим, что есть еще одно событие «B», которое находится уже внутри «A», тогда получается, что «A» является гипотезой по отношению к «B», и к этим двум событиям тогда становится применима предыдущая формула:

  • P(B) = P(A) * P( B | A ) = P(H) * P( A | H ) * P( B | A )

Подставив туда вместо » P(A)» предыдущее соотношение, уже видна некая закономерность построения общей формулы для любого количества вложенных друг в друга гипотез или событий. И зачем нам это, спросите вы? А я отвечу, что это прямой прообраз формулы Бернулли, которую мы разберем чуть ниже, а пока что разберем кое-что очень любопытное.

О фракталах

Если придерживаться логики, которая была выше, то выходит что, если P(A) + P(B) = 1, то это полная группа событий, и выходит, что полная группа может быть собрана из двух произвольных цепочек гипотез, которые вложены друг в друга. Но данные гипотезы могут быть совместными, а если потребовать, что все возможные вложенные друг в друга гипотезы были бы несовместными с гипотезами других цепочек, то тогда это будет автоматически приводить к тому, что все цепочки будут несовместными с другими цепочками в данном пространстве событий. Если внимательно подумать, как это будет выглядеть графически, то получим очень интересное образование:

Данное образование называется «Фракталом«, а все потому, что невозможно построить такую структуру до конца, ее можно строить до бесконечности. На моем рисунке она построена всего на 3 уровня вглубь. Синие прямоугольники здесь олицетворяют конец отдельной цепочки вероятностей. Самое интересное то, что если просуммировать вероятности всех этих цепочек, то они будут образовывать полную группу событий.

Для описания таких фракталов, как оказалось, очень хорошо подходят «сочетания«. Сочетания строятся на основе такого понятия как «факториал«. Существует еще такое понятие, как «перестановка«, по иерархии данное понятие лежит между факториалом и сочетанием. Из формулы факториала выводится формула перестановок, а уже из формулы перестановок вытекает такое понятие как сочетание. Я приведу эти формулы:

  • n! — факториал числа «n»
  • P(n,k) = n! / ( n — k )! — перестановки из «N» элементов по «К» элементам
  • С(n,k) = n! / ( k! * ( n — k )! ) — сочетания из «N» элементов по «К» элементам

Думаю, что ни для кого не секрет, что факториал — это произведение всех натуральных чисел начиная с «1» и заканчивая числом «n», при этом «0! = 1». То есть факториал нуля равен единице, в данном случае это просто исключение из правил, но на самом деле, я не видел ни одного случая, где данное исключение мешало вычислениям или усложняло бы алгоритмы, скорее наоборот.

Перестановки — это уже кое что посложнее. Представьте, что у вас есть колода карт и в данной колоде есть какое-то количество карт, и мы придумали простой опыт: мы должны перемешать колоду и вынуть из нее совершенно произвольным образом несколько карт и разложить их на столе в том порядке, в котором мы их вынимали из колоды. Так вот, перестановки это как раз количество всех возможных исходов данного опыта, при этом порядок следования карт тоже считается уникальным идентификатором конкретного исхода. Понятно, что это применимо не только для опытов с картами, а к чему угодно, да хоть к камням или к карандашам.

Первую карту можно вынуть из колоды «n» способами, вторую «n-1» способами, так как той карты, которую вынули первой из колоды, ее уже нет в колоде, и так далее до «n-k-1». Получается, чтобы получить количество всех возможных перестановок, нужно перемножить все эти числа от «n-k-1» до «n». Понятно, что это очень напоминает нам факториал. Если мы возьмем «n!» и разделим его на последние «n-k» множителей, то получим как раз то произведение, которое было изначально, а это произведение в точности равно «(n-k)!». Вот так и получаем знаменитую формулу перестановок.

Формула сочетаний чуть сложнее, но тоже очень легко выводится. Теперь немножко подумаем, если мы набрали все возможные перестановки, но теперь порядок следования ее элементов не имеет для нас никакого значения, а имеет значение только, какие карты выпали в данном наборе. Теперь нам требуется найти количество всех таких случаев, где мы получили немного другой набор карт отличный от всех других. По сути, каждая перестановка уже содержит в себе какой-то один из этих уникальных наборов, но все нам они не нужны. Теперь немного изменим логику размышлений, мы попробуем набрать все перестановки из всех возможных сочетаний: тогда выходит, что если мы берем одно какое-то сочетание, то как бы мы не переставляли элементы в нем, то каждая такая перестановка будет уникальной. Более того, если взять все такие уникальные сочетания и произвести в них все возможные перестановки элементов, то мы как раз и получим все возможные перестановки, и получается что:

  • P(n,k) = C(n,k) * P(k,k)

Kоличество всех уникальных перестановок внутри одного сочетания как раз равно » P(k,k) «, потому что нам нужно набрать из «k» вариантов все возможные перестановки по этим же «k» вариантам. Отсюда видно, что разделив обе части уравнения на » P(k,k) «, мы можем получить ту искомую формулу сочетаний:

  • C(n,k) = P(n,k)/ P(k,k) = n! / ( k! * ( n — k )! )

Как перестановки, так и сочетания, повсеместно используются в различных задачах по теории вероятности, но если говорить о практическом применении в трейдинге, нам будут исключительно полезны именно сочетания. С помощью них как раз строятся фрактальные функции для множества целей. Возможно, более правильно будет их назвать рекуррентными, но я почему-то такие функции называю фрактальными, наверное потому что они действительно фрактальные, в них уже не просто рекурсия, а целое дерево вызовов.

Схема Бернулли

Прежде, чем мы начнем рассмотрение таких фрактальных функций, мы должны рассмотреть именно эту знаменитую формулу. Представим, что у нас есть цепочка одинаковых опытов, которую мы должны повторить несколько раз. В результате опыта должно появиться некое событие, либо не появиться, с определенной вероятностью. Далее предположим, что нам захотелось найти вероятность того, что в цепочке из «n» опытов наше событие появится ровно «k» раз. Формула Бернулли может ответить на этот вопрос:

  • P = C(n,k)*Pow(p,k)*Pow(q,n-k) — формула Бернулли
  • p — вероятность выпадения события в результате единичного опыта
  • q = 1 — p — вероятность того, что событие не произойдет в результате опыта

Вспоминая формулу выведенную нами для вероятностных цепочек, расширим ее для случая сколь угодно большой длины цепи:

  • P(n) = P(H[1]|O) * P( H[2] | H[1] ) * P( H[3] | H[2] ) * . * P( H[k] | H[k-1] ) * . * P( H[n] | H[n-1] )
  • n — количество сегментов цепи
  • O — все множество исходов, можно так же обозначить как H[0]

Эта формула считает вероятность того, что произойдет именно та цепочка гипотез, которая нам нужна. Визуально можно эту формулу изобразить так:

В первом и самом большом эллипсе наша формула, а другая цепочка, которая нарисована рядом, несовместна с нашей цепочкой, она и символизирует какую-то другую ветку из другого сочетания. Таких веток ровно столько, сколько вариантов вычисления сочетаний в нашей формуле. Только не путайте сами сочетания с вариантами вычисления сочетаний. Количество вариантов вычисления сочетаний равно:

  • n+1 ( потому что сочетания из «0» успешных исходов тоже считаются )
  • n — количество независимых испытаний в цепочке опытов

А теперь представим, что вероятности всех этих гипотез равны или «p» или «q». Тогда формула упрощается:

  • P(n) = Pow(p,k)*Pow(q,n-k)
  • k — сколько множителей равных «p» присутствует в произведении
  • n-k — сколько множителей равных «q» присутствует в произведении

Уже видно сходство с формулой Бернулли, не хватает только сочетания. Но если хорошенько подумать, то станет понятно, что вариантов цепей со схожей вероятностью и количеством «k» и «n-k» как раз в точности равно » C(n,k)». А так как все эти цепочки вероятностей несовместны друг с другом, то выходит, что вероятность того, что мы получим какую-то из данных цепочек, будет равно сумме вероятностей всех таких цепочек. А так как эти вероятности одинаковы, то можно просто умножить вероятность одной цепочки на их количество, вот и получаем нашу формулу Бернулли:

  • P = C(n,k)*Pow(p,k)*Pow(q,n-k)

Интересно, что и эту формулу можно расширить, например на те случаи, когда требуется найти вероятность не четко фиксированного сочетания появления, а выпадение события «k» и более раз, «k» и менее раз, а так же все возможные вариации на эту тему. В данном случае будет сумма вероятностей для нужных нам сочетаний. Например, вероятность того, что событие выпадет больше чем «k» раз будет считаться так:

  • P = Summ(k+1 . i . n)[ C(n,i)*Pow(p,i)*Pow(q,n-i) ]

Очень важно так же понимать что:

  • P = Summ(0 . i . n)[ C(n,i)*Pow(p,i)*Pow(q,n-i) ] = 1

Иначе говоря, все возможные цепочки и образуют полную группу несовместных событий. А так же очень важным тождеством является:

  • Summ(0 . i . n)[ C(n,i)] = Pow(2,n)

Я думаю, это логично, учитывая, что у каждого сегмента вероятностной цепочки всего два состояния — «событие произошло» и «событие не произошло«. Состояние, когда событие не произошло — это точно такое же событие, просто оно заключается в том, что произошло что-то другое.

Так же у сочетаний есть очень интересное свойство:

  • C(n,k) = C(n,n-k)

Прийти к нему можно, посчитав чему равно » C(n,n-k)» и сравнив с » C(n,k) «. После небольших преобразований будет видно, что оба выражения идентичны. Я набросал небольшую программку на основе MathCad 15 для того чтобы проверить все вышесказанные утверждения:

Данный пример я сделал приближенным к рынку, и он вычисляет вероятность того, что из «n» шагов рынок пройдет «u» шагов вверх. Шагом считается движение цены на некоторое количество пунктов вниз или вверх, относительно предыдущего шага. Графически массив вероятностей для каждого «u» можно изобразить вот так:

В данном случае для простоты я использовал схему Бернулли с «10» шагами. Файл будет приложен к статье и желающие смогут поиграться с ним. Не обязательно применять эту схему к ценообразованию, она так же применима и к ордерам, и к чему угодно.

Создаем первый фрактал

Отдельной проработки требуют вопросы касающиеся стоп лоссов и тейк профитов сделок. Я думаю, всем интересно, как посчитать вероятность закрытия сделки по стоп лоссу или по тейк профиту, когда известны величины этих стоп лоссов и тейк профитов в пунктах (расстояние от текущей цены). Данную величину можно вычислить в любой точке, даже если это уже не цена открытия, так как это все находится в прямой зависимости от механизмов ценообразования. На данном примере я хочу продемонстрировать доказательство формулы с применением фракталов. В случае случайного блуждания посчитать данную вероятность можно так:

  • P(TP) = SL / ( TP + SL ) — вероятность срабатывания тейк-профита
  • P(SL) = TP / ( TP + SL ) — вероятность срабатывания стоп-лосса
  • SL — расстояние в пунктах до стоп-лосса
  • TP — расстояние в пунктах до тейк профита

Думаю всем понятно, что эти две вероятности образуют полную группу:

  • P(TP) + P(SL) = 1

Из этой формулы автоматически вытекает, что при случайной торговле математическое ожидание всех таких стратегий будет нулевым, если не учитывать спред, комиссию, своп:

  • M = P(TP) * TP — P(SL) * SL = 0

Это простейший случай, когда мы открываемся фиксированными стопами, но это все при желании можно обобщить на случай абсолютно любой стратегии, а сейчас мы займемся тем, что докажем эту формулу, используя тот же MathCad 15. Я уже давно работаю с этой программой и она позволяет проводить вычисления практически любой сложности, даже с применением программирования. На данном примере мы не только докажем формулы, которые я написал выше, но и увидим первый пример построения фрактальной функции. Начнем с того, что изобразим схематично наш процесс движения цены так, как мы его представляем. Мы не можем здесь использовать непрерывные функции, а лишь дискретные. Для этого условно возьмем наш ордер и отложим наши расстояния (стопы) вверх и вниз, после чего разделим эти сегменты на части с равным шагом, так чтобы в каждом сегменте укладывалось целое количество шагов, и представим, что цена движется по этим шагам. В данном случае очевидно, что так как шаги все одинаковые, то вероятность шага в любом из двух направлений в точности равна «0.5». Для реализации соответствующего фрактала нам потребуется графическая иллюстрация:

Для того чтобы решить данную задачу, мы должны рассмотреть три возможных случая продолжения фрактала:

  1. Мы выше средней линии ( U > MiddleLine )
  2. Мы ниже средней линии ( U < MiddleLine )
  3. Мы сейчас находимся на уровне средней линии ( U = MiddleLine )

В роли «U» здесь выступает итоговое количество шагов «u-d» вверх, относительно цены открытия, если точка, из которой мы собираемся продолжить построение фрактала, находится ниже этой цены, то данная величина принимает отрицательные значения в соответствии с формулой. В случае если мы на средней линии, то количество шагов, которое мы имеем право сделать, не опасаясь пересечения линии, ровно на единицу меньше чем «Mid». Но прежде чем приступать к построению, мы обязательно должны ограничить построение фрактала количеством шагов которое цена или ордера имеют право сделать. Если количество шагов превысит требуемое, то мы обязаны прервать дальнейшее его построение. В противном случае мы получим бесконечную рекурсию, из которой невозможно будет выйти, и время ее вычисления будет равно бесконечности.

На рисунке я нарисовал несколько пурпурных шагов, в этих точках мы собираем вероятности и суммируем в общую переменную, а после этого должны развернуть нашу цепочку вверх или вниз, в зависимости от того, в какую границу уперлась наша цепь, чтобы она могла продолжить движение дальше и построение новых вложенных фрактальных уровней. В остальных точках мы можем свободно строить полные фрактальные уровни на основе схемы Бернулли, которую мы рассмотрели выше.

В случае, когда мы имеем право строить дерево на основе схемы Бернулли, мы должны в первую очередь определить количество шагов, которое мы вправе сделать, учитывая экстремальные случаи, когда все шаги будут исключительно вверх или исключительно вниз. Для всех трех случаев данная величина принимает значения:

  • (n — 1) — U — когда наша цепь уже выше средней линии ( так как увеличение U влечет за собой уменьшение расстояния до верхней границы )
  • (m — 1) + U — когда наша цепь уже ниже средней линии ( так как уменьшение U влечет за собой уменьшение расстояния до нижней границы )
  • (floor(Mid)-1) — когда наша цепь ровно на средней линии
  • n — количество верхних сегментов
  • m — количество нижних сегментов
  • floor — функция отбрасывает дробную часть числа ( возможно это и не нужно пока пусть так )

При этом предварительно нужно посчитать две вспомогательные величины:

  • Mid = (m+n)/2 — половина ширины коридора ( в шагах )
  • Middle = (m+n)/2 — m — значение «U» для серединной линии ( в шагах )

Данные величины пригодятся в дальнейшем для описания логики ветвления фрактала. Только фрактал мы будем строить пока что только для случаев «n>=m». Но этих данных пока еще недостаточно для корректного построения фрактала. Для того чтобы иметь возможность построения дальнейших более глубоких уровней фрактала, необходимо переопределять «U» для каждого нового сочетания из схемы Бернулли и передать его в новый фрактальный уровень. Кроме того, необходимо правильно инкрементировать количество произведенных шагов и так же правильно передавать их дальше. Точно так же придется собирать вероятность всей цепочки с помощью множителей очередного фрактального уровня и передавать вероятность промежуточной цепи дальше в следующий уровень, пока этот процесс не завершится успешным пересечением нужной границы. Для лучшего понимания я создал иллюстрацию для всех трех вариантов:

Руководствуясь данной диаграммой, можно теперь написать чему будут равны величины «NewU» и иные вспомогательные величины для каждого случая из всех представленных, мы рассмотрим это на примере построения фрактала для вычисления вероятности пересечения верхней границы:

Разберем верхнюю картинку и опишем математически то, что там происходит. На данной картинке выжимка из моей программы в MathCad 15. Я не стал приводить весь листинг, желающие смогут с ним ознакомиться в приложении к статье, но самые важные моменты я вынес, потому что как раз на них и стоит весь фрактал. Еще нужно помнить, что первый прямоугольник находится в цикле и итерируется по «i» для описания всех возможных сочетаний. Данную логику при желании можно повторить в среде разработки MetaEditor. Начнем с первой иллюстрации на диаграмме. Для того чтобы определить «NewU», нам сначала необходимо определить некоторые основополагающие формулы, которые нам помогут в этом:

  • ( n — 1 ) — U = f — данная величина в данном случае является количеством шагов будущего дерева сочетаний (размер обусловлен расстоянием до ближайшей границы коридора фрактала)
  • u + d = f — та же самая величина, только выраженная через количество растущих и падающих сегментов
  • s = u — d — количество итоговых шагов вверх, выраженная через падающие и растущие сегменты
  • u = i — потому что у меня в программе итерируется именно по «i» ( просто это надо помнить )

Для того чтобы вычислить все необходимые величины, нам требуется выразить «s» через «U» и «i», займемся этим. Для этого нам просто нужно исключить переменную «d». Сначала выразим ее, после чего подставим в выражение для «s»:

  1. d = f — u = f — i = ( n — 1 ) — U — i
  2. s = i — ( n — 1 ) + U + i = — ( n — 1 ) + 2*i + U

Далее, используя найденное выражение для «s», найдем » NewU » и все величины, которые нам нужны для передачи в следующий фрактальный уровень:

  • NewU = s + U = — ( n — 1 ) + 2*i + 2*U — наше новое «U» для передачи в следующий фрактальный уровень
  • NewP = P * C(f,i) * Pow(p,i) * Pow(1-p,f-i) = P * C( ( n — 1 ) — U ,i) * Pow(p,i) * Pow(1-p, ( n — 1 ) — U -i) — наша новая вероятность цепочки «P» для передачи в следующий фрактальный уровень (получаем домножением на вероятность нового сегмента цепи)
  • NewS = S + f = S + ( n — 1 ) — U — наше новое «S» для передачи в следующий фрактальный уровень

Теперь рассмотрим нижний прямоугольник. В нем мы обрабатываем случаи, когда цепочка шагов дошла до верхней границы коридора. Нам нужно обработать здесь два случая:

  1. Сбор вероятности цепочки которая пересекается с границей ( данное действие подчеркнуто красным )
  2. Аналогичные действия по инкременту новых значений которые мы передадим в следующий фрактальный уровень

Данный случай очень прост, потому что возможно всего два случая:

  1. Касание границы
  2. Разворот от границы

На каждое из этих действий не понадобится схема Бернулли, ведь в данном случае происходит всего по одному шагу. Кстати, вероятность разворота домножается именно на «(1-p)», потому что вероятность пересечения «p», а эти два события должны образовывать полную группу, как нам уже должно быть понятно из предыдущих выкладок. Естественно, шаги мы инкрементируем на «1», а «U» уменьшаем на «1», потому что отражение вниз, и нужно эту величину уменьшать. Вот и все что нам понадобится для правильного построения данного случая. Эти правила будут практически идентичны для построения основных фракталов, которые нам понадобятся для совершенно разных целей.

Для данного случая вычисление происходит практически идентично, разница только в том, что «f» уже принимает другое значение:

  • ( m — 1 ) + U = f

Точно так же выразим «s» через «U» и «i», используя те же формулы, что в предыдущем случае:

  1. d = f — u = f — i = ( m — 1 ) + U — i
  2. s = i — ( m — 1 ) — U + i = — ( m — 1 ) + 2*i — U

Точно так же находим все величины, которые нам нужны для передачи в следующий фрактальный уровень:

  • NewU = s + U = — ( m — 1 ) + 2*i — наше новое «U» для передачи в следующий фрактальный уровень
  • NewP = P * C(f,i) * Pow(p,i) * Pow(1-p,f-i) = P * C( ( m — 1 ) + U ,i) * Pow(p,i) * Pow(1-p, ( m — 1 ) + U -i) — наша новая вероятность цепочки «P» для передачи в следующий фрактальный уровень
  • NewS = S + f = S + ( m — 1 ) + U — наше новое «S» для передачи в следующий фрактальный уровень

Нижний прямоугольник тут практически идентичен предыдущему случаю, за исключением того, что «U» мы увеличиваем на единицу, так как отражение идет вверх, и это означает увеличение «U». Стоит еще отметить, что в данном случае не происходит сбора вероятностей, потому что в данном фрактале нас не интересуют случаи пересечения с нижней границей. Осталось только разобрать самый последний случай, когда цепь попала на среднюю линию коридора.

  • floor(Mid) — 1 = f
  1. d = f — i = floor(Mid) — 1 — i
  2. s = i — d = -( floor(Mid) — 1 ) + 2*i

Наконец, найдем величины для передачи в следующий фрактальный уровень:

  • NewU = s + U = -( floor(Mid) — 1 ) + 2*i + U
  • NewP = P * C(f,i) * Pow(p,i) * Pow(1-p,f-i) = P * C( floor(Mid) — 1 ,i) * Pow(p,i) * Pow(1-p, floor(Mid) — 1 — i) — наша новая вероятность цепочки «P» для передачи в следующий фрактальный уровень
  • NewS = S + f = S + ( floor(Mid) — 1) — наше новое «S» для передачи в следующий фрактальный уровень

Отличительной особенностью данного случая является то, что в данном блоке не происходит сбора вероятностей, потому что данный сбор возможен только на приграничных значениях «U», где также происходит отражение вероятностных цепочек обратно внутрь коридора для того, чтобы они имели возможность распространяться дальше. Построение фрактала для вычисления вероятности пересечения с верхней границей будет идентично, за тем лишь отличием, что сбор вероятностей будет происходить не в первом случае, а во втором.

Интересной особенностью построения подобных фракталов является обязательное наличие в таких функциях формулы Бернулли. Сочетания выделены розовым, а произведения вероятностей желтым. Вместе эти два множителя как раз и образуют формулу Бернулли.

Теперь мы одновременно проверим как правильность построения всего фрактала, так и предположение о том, что математическое ожидание прибыли зависит только от предсказательной способности. Шаги можно представлять как пункты и как сделки, в последнем случае пункты просто нужно будет умножить на соответствующий коэффициент пропорциональности, который зависит от лотов и размера тика, но в данном случае мы посмотрим, как это будет выглядеть для пунктов, потому что такое представление является универсальным:

В данном примере я взял следующие входные данные для построения графика зависимости математического ожидания от вероятности шага вверх:

  • n = 3 — количество верхних сегментов
  • m = 2 — количество нижних сегментов
  • s = 22 — количество допустимых шагов для цепной реакции фрактальной функции ( если его увеличивать компьютеру становится очень тяжело, но и этого количества шагов хватает для достаточной точности )
  • 0 . 0.1 . 0.2 . 1.0 — разделил диапазон вероятностей шага вверх на «10» частей с шагом равным «0.1»

Как видно, при вероятности равной «0.5» математическое ожидание наших сделок в точности равно нулю, как и было предсказано формулой, которую мы доказывали с помощью данного фрактала. В экстремальных точках «0» и «1» можно увидеть, что значение функции стремится к «n» и «-m», что полностью согласуется с нашими предположениями. Фрактал успешно выполнил свою задачу, хоть и обнаружился вполне предсказуемый недостаток: лавинообразное возрастание сложности и времени вычисления. Если возникнет потребность, я думаю подождать час-другой, да даже сутки не так уж и сложно, учитывая, что это единственный способ решения многих задач.

Хочется еще сказать, что данный фрактал будет работать только для случаев когда «n >= m», иными словами, когда удаление верхней границы от точки старта больше, чем удаление нижней границы, но нам вовсе не нужно во фрактале предусматривать подобные вещи. Данная конструкция зеркальна в том плане, что если вдруг «n < m», то мы можем просто вычислить этот фрактал передав в него «m» вместо «n» и «n» вместо «m», и после этого так же поменять вероятности местами и получим простое перетусовывание двух значений, все это делается очень легко. Подобные фракталы могут быть использованы не только для доказательства каких-то формул, а также для обратного процесса. Некоторые формулы могут быть получены только как результат применения фракталов.

Выводы

Если внимательно изучить данный материал, то я считаю, что в нем были сделаны следующие очень важные умозаключения:

  • Теория вероятностей в тандеме с программированием может дать нам теоретическую базу для описания многих процессов на рынке.
  • Доказано что фракталы в тандеме с основными положениями теории вероятностей могут дать ответы на самые сложные вопросы.
  • Полностью разобран пример построения довольно сложного фрактала.
  • Вся теория была проверена на практике с использованием программирования в среде MathCad 15.
  • Доказано, что схема Бернулли дает возможности для построения любых фракталов с двумя состояниями шага.

Заключение

Я надеюсь, читатель из данного материала смог увидеть для себя что-то новое и полезное для практического применения в трейдинге. Занимаясь разработкой этой статьи, я старался передать всю мощь дискретной математики и теории вероятностей, для того чтобы подготовить вас к такому непростому занятию, как описание рыночных процессов используя фрактально-вероятностные цепочки. Я старался соединить все основные положения теории вероятностей в монолит, который поможет нам в решении самых сложных задач для практического применения в трейдинге, также старался отбросить то лишнее, что может внести неразбериху в наши мозги. В следующей статье вы увидите новые примеры практического применения фракталов и ответы на другие не менее важные вопросы.

КАК ИСПОЛЬЗОВАТЬ ТЕОРИЮ ВЕРОЯТНОСТИ НА ФОРЕКС

Всем привет! Совсем недавно я рассматривал торговую стратегию «Дневной диапазон» , сегодня решил проанализировать её, прогнать так сказать, по истории и посмотреть, насколько действительно она является профильной.

Здравствуйте, уважаемые друзья! В прошлой статье я рассматривал интересную торговую стратегию Stochastic + CCI . Сегодня, как и обещал, я постараюсь достаточно точно определить вероятность получения профита для различных вариантов установок стоп-лосса и тейк-профита. Что, несомненно, поможет выявить оптимальный их размер для извлечения максимального профита в будущем.

Добрый день, уважаемые друзья! Как и обещал, публикую статью, в которой расскажу, как применять теорию вероятности на практике. В качестве примера возьмем популярный индикатор MACD . Разберем насколько на длинной дистанции его сигнал – пересечение сигнальной линии гистограммы оправдывает надежды.

Здравствуйте, уважаемые читатели блога fox-trader! Сегодня открывается новый раздел блога «Форекс и теория вероятности», посвященный, как вы поняли из названия, применению теории вероятности на рынке Форекс.

Теория вероятности на Форекс. Как она работает?

Теория вероятности — это выражение пришло в нам из английского языка probability theory и оно является понятием в математике, где изучают процессы и величины, возникающие случайным путем.
На рынке Форекс трейдеры находятся в постоянном поиске систему, чтобы знать и прогнозировать поведение цены валютных пар.
Как известно, ГРААЛя не существует. Однако можно утверждать, что цена ведет себя хаотично и предсказать эту хаотичность можно.
Способ первый — подкидывание монетки.
Как ни странно, но данный способ, взяты из казино, дает профит.
Чем больше сделок, тем вероятнее всего, что профит будет получен.
Просто не устроит его размер. Но слить счет таким способом трудно. Можете проверить на демо-счете.

Основа второго способа — это математические ожидания.
При помощи выявления закономерностей можно ожидать того, что профит будет в итоге. Есть даже интересная система скопления цены, такие зоны она образует, куда потом возвращается. Так скажем, собирает долги.

Третий способ — это торговля разными парами и использование хеджирование. Риски минимальны, профит тоже не очень велик. Однако такой метод тоже является прогнозируем. Плюс тут играют еще роль свопы. Конечно же, положительные.

Как применять теорию циклов на финансовых рынках?

Трейдеры стремятся найти закономерности на рынках, чтобы попробовать заработать на этом. Одни ищут сложные торговые стратегии или ценовые модели на графиках, другие же оценивают длину и высоту колебания цен. Оценить вероятность роста или падения также можно, опираясь на теорию цикличности поведения цены.

Можно сказать, что циклы учитывают временные промежутки, в которых происходят определённые события, к примеру, смена тенденции на рынке. Цикл роста сменяется циклом падения, затем опять наступает цикл подъёма цены. Есть мнение, что трендовое движение занимает 30% от поведения инструмента на рынке, а остальные 70% занимает боковой тренд.

Часто мы торгуем и не привязываемся ко времени достижения целевых уровней. Да и в целом, практика оценки по времени движения цены не сильно распространена. Но стоит отметить, что некоторые авторы пробуют цепляться за данную теорию.

Билл Вульф, автор метода «Волны Вульфа», дает представление о том, как определять время достижения цели. Поэтому, совершая сделку, инвестор понимает, что ждать придется несколько часов или же дней и не стоит рассчитывать на скорую прибыль по этой позиции.

К сожалению, каждый автор выделяет собственные циклы и наделяет их отдельными свойствами. В этой статье попробуем разобраться, как использовать типы циклов при некоторых вариантах анализа рынка. Возможно, и у отдельных трейдеров будут свои идеи о циклах поведения рынка и сферах их применения.

Какие могут быть циклы?

Цикличность присуща всем сферам жизни. Джон Мерфи в своей книге «Технический анализ фьючерсных рынков» приводит примеры изучения циклов еще в далеких 1940-х годах. Изучение цикличности охватывает сферу строительства, движение рынка ценных бумаг, предпринимательскую деятельность и так далее.

В рамках нужд трейдинга и инвестиций выделяются следующие типы циклов:

  • Временные циклы, при которых оцениваем колебания цены с привязкой ко времени.
  • Сезонные циклы. Здесь речь идет про сильные колебания в зависимости от погодных условий.
  • Событийные циклы, когда какое-то событие провоцирует движение цены, и такое поведение актива повторяется.

Для чего нужно изучать цикличность инструментов?

В первую очередь, цель изучения циклов — это попытка предсказать поведение рынка. Если инвестор изучил движение цены актива и влияющие на него факторы, он может определить закономерности, при которых происходят сильные ценовые движения. Далее, цель инвестора — попытаться заработать на этом.

Временные циклы на фондовом рынке

После экономического кризиса 2008 года аналитики ожидали повторение той же ситуации в 2022 году. Якобы временной цикл, в рамках которого формируется новый кризис, провоцирующий массовый обвал на рынке акций, рост золота и укрепление доллара США, должен происходить каждые 10 лет.

Однако признаки мирового кризиса появились только в 2022 году в связи с сильной экономической нестабильностью и мировой пандемией коронавирусной инфекции. Можно сказать, что в этом случае получился временной лаг, но ожидания оправдались.

Биржевой индекс Dow Jones упал с уровня 29 000 пунктов до уровня 18 300 пунктов в 2022 году. Если оценивать график за 2008 год, то падение было таким же сильным: индекс упал с уровня 13 700 пунктов до 6 600 пунктов.

График индекса Dow Jones

Расти Dow Jones начал в марте-апреле 2009 года, и точно также повторил аналогичный рост уже в марте-апреле 2022-го.

График индекса Dow Jones

Следовательно очередное серьезное падение индекса можно ожидать в период 2028-2030, а развитие роста только начинается. Конечно же, имеет смысл не только ориентироваться на эти даты, но также отслеживать ситуацию на рынках и по возможности искать подтверждающие сигналы в пользу такого движения. Не забываем и про временной лаг, который может несколько сместить точные даты следующего обвала.

Сезонные циклы цен на нефть

Если же мы возьмём и оценим график нефти за последние 5 лет, то можно увидеть рост котировок в июле каждого года. Вероятно, это событие связано с ухудшением погодных условий в Мексиканском заливе, когда серьезные ураганы заставляют нефтяников снижать добычу сырья. Конечно же, когда надвигается серьёзный ураган вся добыча нефти оказывается под угрозой. Поэтому рынок учитывает эти сезонные события и демонстрирует подъём цены на нефть в рамках очередного цикла.

График нефти Brent

Хорошо на нефти работают и временные циклы. Еще в сентябре 2022 года стали появляться сообщения о том, что цены на нефть близки к локальным максимумам, и есть риски увидеть падение. Однако снижение цен на «черное золото» не проходит быстро, а может занять несколько лет. Такое исследование провел Хосе Антонио Окампо. Он исходил из предположения, что как и вся мировая экономика, цены на нефть движутся циклично, следовательно, рост и падение сменяют друг друга в строгих временных рамках, а новое падение мы должны ожидать только в 2022 году. Рекордное снижение цены нефти произошло в прошлом году. Но стоит отметить, что падение также наблюдались и в 2022.

JPMorgan Chase говорит о новом суперцикле роста на сырьевых рынках. Якобы только за последние 100 лет было отмечено четыре таких цикла, последний из них начался в 1996 году и завершился в 2008. Цены уже активно растут и серьезный потенциал для продолжения это подъёма в 2022 и 2022 году присутствует.

График нефти Brent

Среди причин развития такого движения могут выступать общее восстановление мировой экономики после пандемии, а также серьезная борьба с изменением климата. Последняя, в свою очередь, спровоцирует ограничение добычи нефти и в то же время повышенный спрос на сырьё для создания инфраструктуры возобновляемых источников энергии.

Заключение

У каждого трейдера может быть свое понимание и применение теории циклов. Чаще инвесторы оценивают вероятность наступления событий на рынке с привязкой ко времени ожидания этого события.

Поведение цены носит цикличный характер, поэтому события будут повторяться с некоторой периодичностью. При этом даже не всегда нужно смотреть на сам график, при условии, что трейдер предварительно изучил поведение инструмента и определил события или временные рамки для формирования очередного цикла.

Про новый суперцикл роста на рынке сырья некоторые банки говорят уже сегодня, а котировки нефти уверенно движутся вверх. А падение, которое рынок увидел в прошлом, 2022 году, некоторые аналитики прогнозировали еще в далеком 2022-м.

КАК ИСПОЛЬЗОВАТЬ ТЕОРИЮ ВЕРОЯТНОСТИ НА ФОРЕКС

Этот процесс автоматический. Ваш браузер будет перенаправлен на запрошенный контент в ближайшее время.

Брокеры, дающие высокие бонусы:
КАК ИСПОЛЬЗОВАТЬ ТЕОРИЮ ВЕРОЯТНОСТИ НА ФОРЕКС